ΠΛΗ20 Ενότητα 1: Συνδυαστική


Η ενότητα της συνδυαστικής, μετά από ένα εισαγωγικό μάθημα (Μάθημα 1: Βασικές Αρχές Απαρίθμησης) δίνει δύο διαφορετικές μεθοδολογίες για να μετράμε με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ένα γεγονός (π.χ. πόσες στήλες έχει το ΤΖΟΚΕΡ, με πόσους τρόπους μπορούν να τοποθετηθούν οι φοιτητές για την εξέταση ενός μαθήματος κ.λπ):

  1. Η πρώτη προσέγγιση είναι μέσω μαθηματικών τύπων – μοντέλων (βασική συνδυαστική). Αν το πρόβλημα που πραγματευόμαστε εμπίπτει σε κάποιο μοντέλο, τότε χρησιμοποιούμε έτοιμους τύπους και έχουμε τους τρόπους για να γίνει το γεγονός. Τα μοντέλα είναι τρία (Μάθημα 2: Συνδυασμοί, Μάθημα 3: Διατάξεις και Μάθημα 4: Διανομές σε Υποδοχές) στα οποία έχουμε 9 τύπους ανάλογα με τις υποπεριπτώσεις του κάθε μοντέλου. Το αντικείμενο των ασκήσεων είναι είτε η επιλογή του σωστού μοντέλου (που απαιτεί ουσιώδη κατανόησή τους) είτε διάσπαση του προβλήματος σε υποπροβλήματα που εμπίπτουν στα μοντέλα.
  2. Η δεύτερη προσέγγιση είναι μέσω των γεννητριών συναρτήσεων. Χρησιμοποιούμε απλές (Μάθημα 1.5) και εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις  (Μάθημα 1.6) για την μοντελοποίηση των προβλημάτων. Οι γεννήτριες συναρτήσεις μπορούν να ενσωματώσουν στην πολυωνυμική μορφή τους πραγματικά περίπλοκους περιορισμούς.  Δηλαδή η εργασία που κάνουμε είναι ότι μελετάμε το πρόβλημα και δίνουμε τη μοντελοποίησή του μέσω γεννήτριας συνάρτησης. Έπειτα ο υπολογισμός των τρόπων είναι υπολογιστική διαδικασία και δεν μας ενδιαφέρει ιδιαιτέρως στα πλαίσια του μαθήματος. Ενδιαφέρουσες παραλλαγές ασκήσεων προκύπτουν στην συνέχεια (μοντελοποίηση εξισώσεων κ.λπ.)

Ολοκληρώνοντας την ενότητα βλέπουμε πως οι πιθανότητες για ισοπίθανα ενδεχόμενα μπορούν να αναχθούν στην επίλυση δύο προβλημάτων βασικής συνδυαστικής (Μάθημα 1.7: Πιθανότητες).

Εδώ είναι η σύνοψη της ενότητας (τυπολόγιο)


 

Τονίζουμε το γεγονός ότι πέρα από το πρόγραμμα διαβάσματος το οποίο είναι ο οδηγός του διαβάσματος, τα τεστ της ενότητας αυτής αλλά και των επομένων ενοτήτων,  δίνουν την δυνατότητα για περαιτέρω τριβή και βαθιά κατανόηση των μοντέλων. Είναι απόλυτα σημαντικό κάποιος να λύσει (κυριολεκτικά) μερικές εκατοντάδες ασκήσεις για να γίνει κτήμα του ο τρόπος σκέψης της συνδυαστικής (στον οποίο θα συζητήσουμε και πολλά σημεία του μαθηματικού συλλογισμού γενικότερα). Ως εκ τούτου η εκτίμηση είναι ότι η συστηματική μελέτη των μαθημάτων, αλλά και η επίλυση των τεστ έως και την 20η εβδομάδα, είναι απαραίτητες ενέργειες για να μπει κάποιος στο νόημα της συνδυαστικής.

Και τώρα ώρα για διάβασμα:

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.1 - Βασικές Αρχές Απαρίθμησης

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.1 - Βασικές Αρχές Απαρίθμησης

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό: Μπαίνω στο νόημα της Συνδυαστικής (μετράω με πόσους διαφορετικούς τρόπους γίνεται κάτι) Μαθαίνω τον κανόνα του αθροίσματος και τον κανόνα του γινομένου ως τα δύο σκεπτικά επίλυσης ασκήσεων της συνδυαστικής (...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.2 - Συνδυασμοί

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.2 - Συνδυασμοί

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό: Μαθαίνω το μοντέλο των συνδυασμών (Μετράω τρόπους για να γίνει μία επιλογή αντικειμένων) Μαθαίνω τους δύο τύπους (συνδυασμοί χωρίς επανάληψη και συνδυασμοί με επανάληψη ). Βλέπω παραλλαγές ασκήσεων ανάλογα...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.3 - Διατάξεις

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.3 - Διατάξεις

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό: Μαθαίνουμε το μοντέλο των διατάξεων  (Μετράω τρόπους για να γίνει μία τοποθέτηση  αντικειμένων σε σειρά) Μαθαίνουμε τους τέσσερις τύπους -μοντέλα των διατάξεων (διατάξεις χωρίς επανάληψη, δ...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.4 - Διανομές σε Υποδοχές

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.4 - Διανομές σε Υποδοχές

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό: Μαθαίνουμε το μοντέλο της διανομής αντικειμένων σε υποδοχές  Μαθαίνουμε τους τρεις τύπους -μοντέλα των διατάξεων (διανομές ομοίων, διανομές διαφορετικών χωρίς σειρά, διανομές διαφορετικών με σειρά ...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.5 - Απλές Γεννήτριες Συναρτήσεις

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.5 - Απλές Γεννήτριες Συναρτήσεις

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό μαθαίνουμε έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης συνδυαστικών προβλημάτων, τις γεννήτριες συναρτήσεις και συγκεκριμένα: Βλέπουμε πως μια απλή γεννήτρια συνάρτηση μπορεί να μοντελοποιήσει ένα πρόβλημα συνδυασμών (επι...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.6 - Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.6 - Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό συνεχίζουμε με τις γεννήτριες συναρτήσεις ως έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης συνδυαστικών προβλημάτων και συγκεκριμένα: Βλέπουμε πως μια εκθετική γεννήτρια συνάρτηση μπορεί να μοντελοποιήσει ένα πρόβλημα διατάξεων &n...
ΠΛΗ20 Μάθημα 1.7 - Πιθανότητες

ΠΛΗ20 Μάθημα 1.7 - Πιθανότητες

Στόχοι του Μαθήματος Στο μάθημα αυτό: Βλέπουμε πως η επίλυση δύο συνδυαστικών προβλημάτων μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός.  . Σύντομη Παρουσίαση Με μια ματιά το μάθημα: ΚΑΡΤΑ: Πιθανότητες σε Συνδυαστικά Προβλήματα...